题目内容
【题目】已知数列{bn}的前n项和是Sn ， 且bn=1﹣2Sn ， 又数列{an}、{bn}满足点{an ， 3 
}在函数y=（ 
）x的图象上．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn=anbn+ 
，求数列{an}的前n项和Tn ．
【答案】
（1）解：当n≥2时，bn=1﹣2Sn，bn﹣1=1﹣2Sn﹣1，
两式相减得：bn﹣bn﹣1=﹣2bn，即bn= 
bn﹣1，
又∵b1=1﹣2S1，即b1= ，
∴数列{bn}是首项、公比均为 的等比数列，
∴bn= 
= 
；
∵点{an，3 
}在函数y=（ ）x的图象上，
∴3 = 
，即 
= ，
∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1
（2）解：由（1）可知cn=anbn+ 
=（2n﹣1） +3n，
记数列{anbn}的前n项和为Pn，数列{ }的前n项和为Qn，
∵Pn=1 +3 
+…+（2n﹣1） ，
Pn=1 +3 +…+（2n﹣3） +（2n﹣1） 
，
∴ 
Pn= +2（ + +…+ ）﹣（2n﹣1）
= +2 
﹣（2n﹣1）
= ﹣ 
，
∴Pn=1﹣（n+1） ，
又∵Qn= 
= 
，
∴Tn=Pn+Qn
=1﹣（n+1） +
= 
﹣ 
﹣ 
【解析】（1）当n≥2时，利用bn=1﹣2Sn与bn﹣1=1﹣2Sn﹣1作差，整理得bn= bn﹣1 ， 进而可知数列{bn}是首项、公比均为 的等比数列；通过将点{an ， 3 }代入函数解析式y=（ ）x中，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知cn=（2n﹣1） +3n ， 通过记数列{anbn}的前n项和为Pn ， 数列{ 
}的前n项和为Qn ， 利用错位相减法计算可知Pn=1﹣（n+1） ，利用等比数列的求和公式计算可知Qn= ，相加即得结论．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．
