Question

9．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A₁，A₂，A₃，田忌的三匹马分别为B₁，B₂，B₃．三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜，双方均不知对方的马的出场顺序．（用排列组合解决问题）
（1）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示A₁＞B₁＞A₂＞B₂＞A₃＞B₃，则田忌获胜的概率是多大？
（2）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示A₁＞B₁＞A₂＞B₂＞B₃＞A₃，则田忌获胜的概率是多大？

Answer 1

分析 列出齐王与田忌赛马的所有情况，从而求概率．

解答 解：记A₁与B₁比赛为（A₁，B₁），其它同理．齐王与田忌赛马，有如下六种情况：
（A₁，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₃）；（A₁，B₁），（A₂，B₃），（A₃，B₂）；
（A₁，B₂），（A₂，B₃），（A₃，B₁）；（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₃，B₃）；
（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₃，B₂）；（A₁，B₃），（A₂，B₂），（A₃，B₁）；
（1）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示A₁＞B₁＞A₂＞B₂＞A₃＞B₃，
其中田忌获胜的只有一种（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₃，B₂），故田忌获胜的概率为$\frac{1}{6}$；
（2）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示A₁＞B₁＞A₂＞B₂＞B₃＞A₃，
其中田忌获胜的有（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₃，B₂），或（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₃，B₃），
故田忌获胜的概率为$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了古典概型的识别与古典概型概率的求法，属于基础题．