Question

已知α,β∈(0,)且满足:3sin²α+2sin²β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.

Answer 1

解法一:3sin²α+2sin²β=13sin²α=1-2sin²β,即3sin²α=cos2β,①

3sin2α-2sin2β=03sinαcosα=sin2β,②

①²+②²,得9sin⁴α+9sin²αcos²α=1,即9sin²α(sin²α+cos²α)=1,

∴sin²α=

∵α∈(0,),∴sinα=.

∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin²α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin²α+cos²α)=3×=1.

∵α,β∈(0,),

∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.

解法二:3sin²α+2sin²β=1cos2β=1-2sin²β=3sin²α,

3sin2α-2sin2β=0sin2β=sin2α=3sinαcosα,

∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β

=cosα·3sin²α-sinα·3sinαcosα=0.

∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.

解法三:由已知3sin²α=cos2β,sin2α=sin2β,

两式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(-2β).

∵α∈(0,),∴tanα＞0.∴tan(-2β)＞0.

又∵β∈(0,),∴-＜-2β＜.

结合tan(-2β)＞0,得0＜-2β＜.

∴由tanα=tan(-2β),得α=-2β,即α+2β=.