题目内容
椭圆C：
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点．已知
的最大值为3，最小值为2．（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过点A．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】分析：（1）先确定|PF1|+|PF2|=2a且a-c≤|PF1|≤a+c，再计算
，利用
的最大值为3，最小值为2，建立方程组，即可求得椭圆方程；
（2）将y=kx+m代入椭圆方程得一元二次方程，利用韦达定理，及MN为直径的圆过点A，即可证得结论．
解答：（1）解：∵P是椭圆上任一点，∴|PF1|+|PF2|=2a且a-c≤|PF1|≤a+c，
∴
=
=
=
…（2分）
当|PF1|=a时，y有最小值a2-2c2；当|PF2|=a-c或a+c时，y有最大值a2-c2．
∴
，
，b2=a2-c2=3．
∴椭圆方程为
．…（4分）
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆方程得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．
∴
…（6分）
∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，
，
∵MN为直径的圆过点A，∴
，
∵右顶点为A，∴A（2，0）
∴
=（x1-2，y1），
=（x2-2，y2），
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2=0
∴7m2+16km+4k2=0，
∴
或m=-2k都满足△＞0，…（9分）
若m=-2k直线l恒过定点（2，0）不合题意舍去，
若
直线l：
恒过定点
．…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，联立方程，正确运用韦达定理是关键．
，利用的最大值为3，最小值为2，建立方程组，即可求得椭圆方程；（2）将y=kx+m代入椭圆方程得一元二次方程，利用韦达定理，及MN为直径的圆过点A，即可证得结论．
解答：（1）解：∵P是椭圆上任一点，∴|PF1|+|PF2|=2a且a-c≤|PF1|≤a+c，
∴
==
=…（2分）当|PF1|=a时，y有最小值a2-2c2；当|PF2|=a-c或a+c时，y有最大值a2-c2．
∴
，，b2=a2-c2=3．∴椭圆方程为
．…（4分）（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆方程得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．
∴
…（6分）∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，
，∵MN为直径的圆过点A，∴
，∵右顶点为A，∴A（2，0）
∴
=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），∴（x1-2）（x2-2）+y1y2=0
∴7m2+16km+4k2=0，
∴
或m=-2k都满足△＞0，…（9分）若m=-2k直线l恒过定点（2，0）不合题意舍去，
若
直线l：恒过定点．…（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，联立方程，正确运用韦达定理是关键．
练习册系列答案
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与椭圆C相交于两个不同点A、B，与直线2x+y-2=0交于点Q，若→AP=λ→PB，→AQ =μ→QB，求λ+μ的值
圆C: 
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，且椭圆经过点N（2，-3）．
（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为
．
（a＞b＞0）．
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；②a2+b2=2a2b2．求椭圆长轴的取值范围．
+
=1(a＞b＞0)，直线y=x+
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(
，0)求实数k的取值范围。