Question

已知函数f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-

1

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）求函数f（x）在[-

π

4

，π]上最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先通过倍角公式和两角和公式对函数进行化简整理得f（x）=

2

2

sin(x+

π

4

)，再根据正弦函数图象的性质可知其最小正周期和单调递减区间．
（2）根据正弦函数的单调性进而可得函数f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）f(x)=

1

2

sinx+

1+cosx

2

-

1

2

=

1

2

(sinx+cosx)
=

2

2

sin(x+

π

4

)；
∴函数最小正周期为2π
根据正弦函数的单调性可知，当2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）时，函数单调减
∴2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

为函数的单调递减区间．
（2）∵-

π

4

≤α≤π
即0≤α+

π

4

≤

5π

4

，
∴f(x)max=f(

π

4

)=

2

2

，
f(x)min=f(π)=-

1

2

．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象的性质和正弦函数的单调性．属基础题．