是否存在等比数列{an}.其前n项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列.且公比相同? 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

是否存在等比数列{a_n}，其前n项和S_n组成的数列{S_n}也是等比数列，且公比相同？

解：设等比数列{a_n}的公比为q,如果{S_n}是公比为q的等比数列，则

S_n=S₁q^n-1=a₁q^n-1，

故q=1时，S_n=a₁q^n-1=a₁=na₁，

即

得n+1=n，矛盾.

q≠1时，S_n=a₁q^n-1=

即，与前提矛盾.于是，这样的等比数列不存在.

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已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（a-1）S_n=a（a_n-1）（a＞0）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等比数列，并求a_n；
（Ⅱ）已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x}，问是否存在实数a，使得对于任意的n∈N^*
都有S_n∈A？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

若{a_n}是公差d≠0的等差数列，通项为a_n，{b_n}是公比q≠1的等比数列，已知a₁=b₁=1，且a₂=b₂，a₆=b₃．
（1）求d和q．
（2）是否存在常数a，b，使对一切n∈N^*都有a_n=log_ab_n+b成立，若存在求之，若不存在说明理由．

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足8Sn=an2+4an+3(n∈N*)，且a₁，a₂，a₇依次是等比数列{b_n}的前三项．（1）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{an-logabn}(n∈N*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

在公差为d（d≠0）的等差数列{a_n}和公比为q的等比数列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₈=b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在常数a，b，使得对于一切正整数n，都有a_n=log_ab_n+b成立？若存在，求出常数a和b，若不存在说明理由．

（2009•宝山区一模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，3a_n+1+4S_n=3（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S=a₁+a₂+…+a_n+…，若对任意正整数n，kS＜S_n恒成立，求k的取值范围？
（3）已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a＞0}，若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为T_n，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N^*，均有T_n∈A．若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．