Question

（本小题满分13分）

如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.

（1）求证：PB∥平面EFG；

（2）求异面直线EG与BD所成角的余弦值；

（3）在线段CD上是否存在一点Q，使得A点到平面EFQ的距离为，

若存在，求出CQ的值？若不存在，请说明理由.

Answer 1

解法一：

（1）取AB的中点H，连接GH，HE，

∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点，

∴GH∥AD∥EF，∴E、F、H、G四点共面.

又H为AB的中点，∴EH∥PB.

又EH面EFG，PB平面EFG，∴PB∥平面EFG.

（4分）

（2）取BC的中点M，连接GM、AM、EM，则GM∥BD，

∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角.

在Rt△MAE中，EM＝＝，

同理EG＝，又GM＝MD＝

∴在△MGE中，cos∠EGM＝＝＝，

故异面直线EG与BD所成角的余弦值为.

（8分）

（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件，过点Q作QR⊥AB于R，连接RE，则QR∥AD.

∵四边形ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，

∴AD⊥AB，AD⊥PA.又AB∩PA＝A，∴AD⊥平面PAB.

又∵E、F分别是PA、PD的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB.

又EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB.

过A作AT⊥ER于T，则AT⊥平面EFQ，

∴AT就是点A到平面EFQ的距离.

设CQ＝x(0≤x≤2)，则BR＝CQ＝x，AR＝2－x，AE＝1，

在Rt△EAR中，AT＝＝＝

解得x＝.故存在点Q，当CQ＝时，点A到平面EFQ的距离为

（13分）

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）.

（1）∵PB＝（2，0，－2），FE＝（0，－1，0），FG＝（1，1，－1），

设PB＝sFE＋tFG，即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，

 

∴ 解得s＝t＝2.

∴PB＝2FE＋2FG

又∵FE与FG不共线，∴PB，FE与FG共面.

∵PB平面EFG，∴PB∥平面EFG.

（4分）

（2）∵EG＝（1，2，－1），BD＝（－2，2，0）.

∴cos＜EG，BD＞＝＝＝

故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为

（8分）

（3）假设线段CD上存在一点Q满足题设条件，令CQ＝m(0≤m≤2)，则DQ＝2－m，

∴点Q的坐标为（2－m，2，0）

∴EQ＝（2―m，2，―1）

而EF＝（0，1，0），设平面EFQ的法向量为n＝(x，y，z)，则

∴

令x＝1，则n＝（1，0，2－m），又AE＝（0，0，1），

∴点A到平面EFQ的距离d＝＝＝

即(2－m)²＝，

∴m＝或m＝，又m＝＞2不合题意，舍去.

故存在点Q，当CQ＝时，点A到平面EFQ的距离为.

（13分）