Question

已知数列{a_n}的通项an=(n-

1

2

)•(

9

10

)n，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）判断数列{a_n}的增减性，并说明理由；
（Ⅲ） 设b_n=a_n+1-a_n，求数列{

bn+1

bn

}的最大项和最小项．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在数列通项公式中直接取n=1，n=2求解；
（Ⅱ）由a_n+1-a_n得到关于n的函数表达式，由差式的符号得到n的取值范围，从而得到数列的单调性；
（Ⅲ）求出数列b_n的通项，由

bn+1

bn

在不同区间上的单调性得到数列{c_n}在不同区间上的值域，则数列{

bn+1

bn

}的最大项和最小项可求．

解答：解：（Ⅰ）a₁=(1-

1

2

)×

9

10

=

1

2

×

9

10

=0.45，
a₂=(2-

1

2

)×(

9

10

)2=

3

2

×

81

100

=1.215；
（Ⅱ）由an+1-an=(n+0.5)•0.9n+1-(n-0.5)•0.9n
=0.9ⁿ（0.9n+0.45-n+0.5）=-0.1×0.9ⁿ×（n-9.5）．
则当1≤n≤9时，a_n+1-a_n＞0，数列{a_n}为递增数列，
当n≥10时，a_n+1-a_n＜0，数列{a_n}为递减数列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，bn=an+1-an=-0.1×0.9n×(n-9.5)．
令cn=

bn+1

bn

，即求数列{c_n}的最大项和最小项．
则cn=

bn+1

bn

=0.9•

n-8.5

n-9.5

=0.9(1+

1

n-9.5

)．
则数列{c_n}在1≤n≤9时递减，此时c₉≤c_n＜0.9，即-0.9≤c_n＜0.9；
数列{c_n}在n≥10时递减，此时0.9＜c_n≤c₁₀，即0.9＜c_n≤2.7．
因此数列{c_n}的最大项为c₁₀=2.7，最小项为c₉=-0.9．

点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了利用函数单调性求最值，是中档题．