题目内容
在全国高中数学联赛第二试中只有三道题，已知(1)某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；(2)在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1；(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，问共有多少学生只解出第二题?
思路分析：本题的条件较多，利用Venn图，设解出第一、二、三道题的学生的集合为A、B、C，并用三个圆分别表示，如图所示，则重叠部分表示同时解出两道题或三道题的集合，这样得到七个部分，其人数分别用a,b,c,d,e,f,g表示，然后，根据已知条件列出方程组求出b.
解：根据已知条件(1)(2)(3)(4),可得
a+b+c+d+e+f+g=25, ①
b+f=2(c+f), ②
a=d+e+g+1, ③
a=b+c. ④
②代入①,得a+2b-c+d+e+g=25. ⑤
③代入⑤,得2b-c+2d+2e+2g=24. ⑥
④代入⑤,得3b+d+e+g=25. ⑦
⑦×2-⑥,得4b+c=26. ⑧
由于c≥0，所以b≤
.
利用②⑧消去c，得f=b-2(26-4b)=9b-52.
因为f≥0，所以b≥
.
则有b=6，即只解出第二题的学生有6人.
