Question

已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆L：上不同的两点，线段AB的中点为．
（1）求直线AB的方程；
（2）若线段AB的垂直平分线与椭圆L交于点C、D，试问四点A、B、C、D是否在同一个圆上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：解一：（1）将点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆方程，两式相减，再利用线段AB的中点为，可求直线AB的斜率．故可求直线AB的方程；
解二：当直线AB的不存在时，AB的中点在x轴上，不符合题意．设直线AB的方程为y-1=k（x-2），与椭圆方程联立，消去y，得（1+2k²）x²-（8k²-4k）x+8（k²-k-2）=0，利用AB的中点为M（2，1），结合韦达定理，可求直线AB的方程．
（2）由 消去y，得3x²-12x=0，求得A（0，3），B（4，-1），将线段AB的垂直平分线方程与椭圆方程联立，消去y，得3x²-4x-16=0，从而可求线段CD的中点E的坐标，进而可知四点A、B、C、D在同一个圆上，从而可求圆的方程．
解答：解一：（1）∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆L上不同的两点，
∴，．
以上两式相减得：，
即，，
∵线段AB的中点为，
∴．
∴，
当x₁=x₂，由上式知，y₁=y₂则A，B重合，与已知矛盾，因此x₁≠x₂，
∴．
∴直线AB的方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0．
由 消去y，得3x²-12x=0，解得x=0或x=4．
∴所求直线AB的方程为x+y-3=0．
解二：当直线AB的不存在时，AB的中点在x轴上，不符合题意．
故可设直线AB的方程为y-1=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由 消去y，得（1+2k²）x²-（8k²-4k）x+8（k²-k-2）=0（*）
∴．
∵AB的中点为M（2，1），
∴x₁+x₂=4．
∴．
解得k=-1．
此时方程（*）为3x²-12x=0，其判别式△=144＞0．
∴所求直线AB的方程为x+y-3=0．
（2）由于直线AB的方程为x+y-3=0，则线段AB的垂直平分线CD的方程为y-1=x-2，即x-y-1=0．
由 消去y，得3x²-12x=0，解得x=0或x=4．
∴A（0，3），B（4，-1）
由消去y，得3x²-4x-16=0
设C（，），D（，），
∴．
∴线段CD的中点E的横坐标为，纵坐标．
∴E．
∴．
∵=，
=，
∴四点A、B、C、D在同一个圆上，此圆的圆心为点E，半径为，
其方程为．
点评：本题重点考查椭圆中弦的中点问题，考查四点共圆，解题时，利用设而不求法是关键，考查韦达定理的运用，综合性强．