Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+a．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）若f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值与最小值的和为

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的正弦函数可求得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

+a，从而可求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）由-

π

6

≤x≤

π

3

⇒-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

⇒-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，从而可求f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的值域为[a，a+

3

2

]，继而依题意可求a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

（1+cos2x）+a=sin（2x+

π

6

）+

1

2

+a，
∴其最小正周期T=π；
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：
kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z），
∴f（x）的单调递减区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（2）∵-

π

6

≤x≤

π

3

，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴a≤sin（2x+

π

6

）+

1

2

+a≤

3

2

+a，即f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的值域为[a，a+

3

2

]，
又f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值与最小值的和为

3

2

，
∴a+a+

3

2

=

3

2

，
解得a=0．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的单调性、周期性与闭区间上的最值，属于中档题．