Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是

x= 2 2 t+m y= 2 2 t

（t是参数）．
（1）将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程并把直线l的参数方程转化为普通方程；
（2）若过定点P（m，0）的直线l与曲线C相交于A、B两点，且|PA|•|PB|=3，试求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程为  x²+y²-4x=0，把直线直线l的参数方程化为普通方程为y=x+m．
（2）将

x= 2 2 t+m y= 2 2 t

  代入x²+y²-4x=0，由韦达定理|m²-4m|=3，由此求得实数m的值．

解答：解：（1）曲线C的极坐标方程ρ²=4ρcosθ，化成直角坐标方程为  x²+y²-4x=0．
把直线直线l的参数方程化为普通方程为 x=y+m，即y=x-m．
（2）由直线参数方程的几何意义将

x= 2 2 t+m y= 2 2 t

  代入x²+y²-4x=0，
得：t2+(

2

m-2

2

)t+m2-4m=0，（*）  记两个根t₁，t₂，所以|PA|•|PB|=3，得|t₁•t₂|=3，
由韦达定理|m²-4m|=3，当m²-4m=3时，解得：m=2±

7

，当m²-4m=-3时，解得：m=1，或者m=3，
经检验m=2±

7

，或m=1，或者m=3时，（*）的△＞0均符合题意．

点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把参数方程化为普通方程的方法，以及参数的几何意义，得到|m²-4m|=3，是解题的关键．