Question

在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，求角B的大小．

Answer 1

分析：根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简已知等式得2cosBsinA+sin（B+C）=0，由三角函数的诱导公式可得  sinA=sin（B+C），代入前面的等式并整理得sinA（2cosB+1）=0．由此解出cosB=-

1

2

，即可得出角B的大小．

解答：解：∵在△ABC中，

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，
∴根据正弦定理，得

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
去分母，得cosB（2sinA+sinC）=-sinBcosC，
即2cosBsinA+（sinBcosC+cosBsinC）=0，可得2cosBsinA+sin（B+C）=0，
∵△ABC中，sinA=sin（B+C），
∴2cosBsinA+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0．
又∵△ABC中，sinA＞0，
∴2cosB+1=0，可得cosB=-

1

2

．
∵B∈（0，π），∴B=

2π

3

．

点评：本题给出三角形的边角关系式，求角B的大小．着重考查了两角和的正弦公式、诱导公式和利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题．