Question

（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；

（Ⅱ）设…，均为正数，证明：

（1）若……，则；

（2）若…=1，则

Answer 1

本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分14分）

    解：（I）的定义域为，令

    当在（0，1）内是增函数；

    当时，内是减函数；

    故函数处取得最大值

   （II）（1）由（I）知，当时，

    有

    ，从而有，

    得，

    求和得

   

    即

   （2）①先证

    令

    则于是

    由（1）得，即

   

    ②再证

    记，

    则，

    于是由（1）得

    即

   

    综合①②，（2）得证。