Question

如图，已知PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=

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CD，∠BAD=∠ADC=90°
（1）在面PCD上找一点M，使BM⊥面PCD；
（2）求由面PBC与面PAD所成角的二面角的余弦值．

Answer 1

（1）M为PC的中点，设PD中点为N，则MN=

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CD，且MN∥

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2

CD，∴MN=AB，MN∥AB．
再由 PA=AB=AD=

1

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CD，可得ABMN为平行四边形，∴BM∥AN．
可得∠PAD=90°，∴AN⊥PD，又CD⊥AN，∴AN⊥面PCD，∴BM⊥面PCD．…（6分）
（2）延长CB交DA于E，∵AB=

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2

CD，且AB∥

1

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CD，∴AE=AD=PA，∴PD⊥PE．
又∴PE⊥CD，∴PE⊥面PCD，∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角．
再由PD=

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AD，CD=2AD，可得tan∠CPD=

2

，
∴cos∠CPD=

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3

．…（12分）