Question

已知A是抛物线上的动点，B、C两点分别在x轴的正、负半轴上，圆M：x²+（y-2）²=4内切于△ABC，切点分别为T₁，T₂和原点O，设BC=m，AT₁=n．
（Ⅰ）证明：为定值．
（Ⅱ）已知点A在第一象限，且当△ABC周长最小时，试求△ABC的外接圆方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设A（x，y），则，所以，由此能证明为定值．
（Ⅱ）周长l=2（m+n）．由，知m+n≥16，l≥32，取最小值时，m=n=8，点A．
设点B的横坐标为x，则直线AB的方程为l：，点M到l的距离，由此及彼能得到所求的方程．
解答：（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）设A（x，y），则，
∴，∴．
（Ⅱ）周长l=2（m+n）．
∵，∴m+n≥16，∴l≥32，
取最小值时，m=n=8，点A的坐标为．
设点B的横坐标为x，则直线AB的方程为l：，
即．
点M到l的距离，整理得．
故可设所求圆方程为：，将点代入得E=-15，
∴所求的方程为：．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．