Question

已知函数f（x）=1nx-ax．
（Ⅰ）若f（x）的最大值为1，求a的值；
（Ⅱ）设l是函数f（x）=1nx-ax图象上任意一点的切线，证明：函数f（x）=1nx-ax的图象除该点外恒在直线l的下方．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出导数，对a分类讨论即可得出；
（Ⅱ）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到切线的方程g（x）=0，构造函数h（x）=g（x）-f（x），利用导数证明h（x）的最小值≥0即可．

解答：解：（Ⅰ）易知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′(x)=

1

x

-a，①当a≤0时，f^′（x）≥0，∴函数f（x）单调递增，因此函数在（0，+∞）上无最大值，不符合题意，应舍去；
②当a＞0时，f′(x)=

-a(x- 1 a )

x

，令f^′（x）=0，则x=

1

a

．
当0＜x＜

1

a

时，f^′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＞

1

a

时，f^′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x=

1

a

时，函数f（x）取得极大值，也即最大值．
∴f(

1

a

)=1，即ln

1

a

-1=1，解得a=

1

e2

．
（Ⅱ）设P（x₀，lnx₀-ax₀）是曲线f（x）=lnx-ax的图象上的任意一点，则过点P的切线的斜率为

1

x0

-a，
∴切线为y-(lnx0-ax0)=(

1

x0-a

)(x-x0)，化为y=g（x）=(

1

x0

-a)x-1+lnx0，
令h（x）=g（x）-f（x）=(

1

x0

-a)x-1+lnx0-（lnx-ax），
∴h^′（x）=

1

x0

-a-

1

x

+a=

x-x0

x0x

，令h^′（x）=0，解得x=x₀．
当0＜x＜x₀时，h^′（x）＜0，函数h（x）单调递减；当x＞x₀时，h^′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
因此当x=x₀时，函数h（x）取得最小值，∴h（x）≥h（x₀）=(

1

x0

-a)x0-1+lnx0-lnx0+ax0=0，
∴g（x）≥f（x），函数f（x）=1nx-ax的图象除切点外恒在直线l的下方．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性极值等性质、分类讨论的思想方法是解题的关键．