Question

有一块边长为4的正方形钢板,现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器(切、焊损耗忽略不计),有人应用数学知识作了如下设计:如图(1),在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剩余部分围成一个长方体,该长方体的高为小正方形边长,如图(2).

(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V₁;

(2)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费),请你重新设计切焊方法,使材料浪费减少,而且所得长方体容器的容积V₂＞V₁.

Answer 1

解：(1)设切去正方形边长为x,则焊接成的长方体的底面边长为4-2x,高为x,

∴V₁=(4-2x)²·x=(4x³-16x²+16x)(0＜x＜2＝.

∴V₁′=4(3x²-8x+4),令V₁′=0,得x₁=,x₂=2(舍去),

    而V₁′=12(x-)(x-2),又当x＜时,V₁′＞0;

    当＜x＜2时,V₁′＜0.

∴当x=时,V₁取最大值.

(2)重新设计方案如下:

    如图①,在正方形的两个角处各切下一边长为1的小正方形;如图②,将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间;如图③,将图②焊成长方体容器.

                       ①               ②            ③

    新焊长方体容器底面是一个长方形,长为3,宽为2,此长方体容积V₂=3×2×1=6,显然V₂＞V₁,故第二种方案符合要求.

    另外还可以如图④,V₃=2×4×=＞V₁.

④

    还可以用其他方法(略).