Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（-1）=1，若对任意a、b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0．
（1）判断f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；
（2）解不等式f（1-x）+f（1-x²）＞0；
（3）若f（x）≤m²-2am+1对所有x[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•(x1-x2)．根据函数的奇偶性及已知不等式可得差的符号，由单调性的定义可作出判断；
（2）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式可求，注意函数定义域；
（3）对所有x[-1，1]，f（x）≤m²-2am+1成立，等价于f（x）_max≤m²-2am+1，由单调性易求f（x）_max，从而可化为关于a的一次函数，利用一次函数的性质可得关于m的不等式组；

解答：解：（1）f（x）在[-1，1]上是减函数，证明如下：
任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
又f（x）是奇函数，
于是f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•(x1-x2)．
据已知

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是减函数．
（2）由奇函数性质知，f（1-x）+f（1-x²）＞0可化为f（1-x）＞-f（1-x²）=f（x²-1），
由（1）知f（x）为奇函数，所以有1-x＜x²-1①，
且-1≤1-x≤1②，
-1≤x²-1≤1③，
联立①②③解得，1＜x≤

2

，
故不等式的解集为{x|1＜x≤

2

}．
（3）对所有x[-1，1]，f（x）≤m²-2am+1成立，等价于f（x）_max≤m²-2am+1，
由f（x）在[-1，1]上的单调递减知，f（x）_max=f（-1）=1，
所以1≤m²-2am+1，即0≤m²-2am，
又对a∈[-1，1]恒成立，则有

m2-2m(-1)≥0 m2-2m×1≥0

，解得m≤-2或m=0或m≥2，
故实数m的取值范围为m≤-2或m=0或m≥2．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用，考查恒成立问题．考查转化思想，在解题时要利用好单调性和奇偶性的定义．