Question

（2013•顺义区二模）已知函数f(x)=

( 3 cosx-sinx)sin2x

2cosx

+

1

2

．
（Ⅰ）求f(

π

3

)的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．

Answer 1

分析：（I）把x=

π

3

直接代入函数的解析式，化简求得f（

π

3

）的值．
（II）由cosx≠0，得 x≠kπ+

π

2

，（k∈z ）．化简函数的解析式为sin（2x+

π

6

），从而求得f（x）的最小正周期．再由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，x≠kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．

解答：解：（I）由函数的解析式可得 f(

π

3

)=

( 3 cos π 3 -sin π 3 )sin(2× π 3 )

2cos π 3

+

1

2

=

( 3 × 1 2 - 3 )× 3 2

2× 1 2

+

1

2

=0+

1

2

=

1

2

．…（4分）
（II）∵cosx≠0，得 x≠kπ+

π

2

，（k∈z ）
故f（x）的定义域为{x|x≠kπ+

π

2

，（k∈z ）}．
因为 f(x)=

( 3 cosx-sinx)sin2x

2cosx

+

1

2

=sinx（

3

cosx-sinx）+

1

2

=

3

2

sin2x-sin²x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1-cos2x

2

+

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

），
所以f（x）的最小正周期为 T=

2π

2

=π．
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，x≠kπ+

π

2

，k∈z，
得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，x≠kπ+

π

2

，k∈z，
所以，f（x）的单调递减区间为 （kπ+

π

6

，kπ+

π

2

 ），（kπ+

π

2

，kπ+

2π

3

 ），k∈z．…（13分）

点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．