Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M(

3π

4

，0)对称，且在区间[0，

π

2

]上是单调函数，求φ和ω的值．

Answer 1

分析：由f（x）是偶函数可得?的值，图象关于点M(

3π

4

，0)对称可得函数关系f(

3π

4

-x)=-f(

3π

4

+x)，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．

解答：解：由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
所以-cosφsinωx=cosφsinωx，
对任意x都成立，且w＞0，
所以得cosφ=0．
依题设0＜φ＜π，所以解得φ=

π

2

，
由f（x）的图象关于点M对称，
得f(

3π

4

-x)=-f(

3π

4

+x)，
取x=0，得f（

3π

4

）=sin（

3ωπ

4

+

π

2

）=cos

3ωπ

4

，
∴f（

3π

4

）=sin（

3ωπ

4

+

π

2

）=cos

3ωπ

4

，
∴cos

3ωπ

4

=0，
又w＞0，得

3ωπ

4

=

π

2

+kπ，k=0，1，2，3，…
∴ω=

2

3

（2k+1），k=0，1，2，…
当k=0时，ω=

2

3

，f（x）=sin（

2

3

x+

π

2

）在[0，

π

2

]上是减函数，满足题意；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x，在[0，

π

2

]上是减函数，满足题意；
当k=2时，ω=

10

3

，f（x）=sin（

10

3

x+

π

2

）在[0，

π

2

]上不是单调函数；
所以，综合得ω=

2

3

或2．

点评：本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．