Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，且满足AB∥CD，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAD；
（2）若PA=AB，求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PBD⊥平面PAD；
（2）根据二面角的定义先作出二面角的平面角，进行求解即可．

解答 证明：（1）取AB的中点E，连接CE，
则由题意知，△BCE为正三角形，
∴∠ABC=60°，
由等腰梯形知∠BCD=120°，
设AD=DC=BC=2，
则AB=4，由余弦定理得BD²=CD²+BC²-2CD•BCcos120°=4+4-2×2×2×$（-\frac{1}{2}）$=4+4+4=12，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
故AD²+BD²=AB²，
即得∠ADB=90°，
则AD⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∴BD⊥平面PAD，BC?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAD；
（2）在平面ABCD中，过C作CH∥BD，交AD的延长线于H，
由（1）知，BD⊥平面PAD，
∴CH⊥平面PAD，则CH⊥PD，
在平面PAD中，过点H作HG⊥PD，交PD的延长线于G，
连接CG，则PG⊥平面HGC，
∴PG⊥GC，
则∠HGC为二面角A-PD-C的平面角，
在直角三角形CHD中，CD=2，∠CDH=60°，
∴CH=$\sqrt{3}$，
∵Rt△PAD∽Rt△HGD，
∴GH=$\frac{PA•DG}{PD}=\frac{4×1}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
在Rt△GHC，GC=$\sqrt{H{G}^{2}+H{C}^{2}}=\sqrt{\frac{4}{5}+3}$=$\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{5}}$，
则cos∠GHC=$\frac{GH}{GC}$=$\frac{2\sqrt{19}}{19}$，
则二面角A-PD-C的余弦值为-$\frac{2\sqrt{19}}{19}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定以及空间二面角的求解，利用定义法是解决空间二面角的常用方法．本题也可以使用向量法进行求解．