Question

已知两个等比数列{a_n}，{b_n}，满足a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3．
（1）若a=1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}唯一，求a的值．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，根据“b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3．且{b_n}为等比数列”由等比中项，可解得公比，从而求得通项．
（2）由（1）知（2+aq）²=（1+a）（3+aq²）整理得：aq²-4aq+3a-1=0，易知方程有一零根，从而求得结果．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
又∵b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3．且{b_n}为等比数列
∴（2+q）²=2（3+q²）
∴q=2±

2

∴an=(2+

2

)n-1或an=(2-

2

)n-1
（2）由（1）知（2+aq）²=（1+a）（3+aq²）
整理得：aq²-4aq+3a-1=0
∵a＞0，∴△=4a²+4a＞0
∵数列{a_n}唯一，∴方程必有一根为0，得a=

1

3

点评：本题主要考查等比数列的通项，等比中项及方程思想，属中档题．