Question

如图1-1-8，在四边形ABCD中，BC＝m，DC=2m，四个内角A、B、C、D之比为3∶7∶4∶10，试求四边形ABCD的面积

                                                                   图1-1-8

    

Answer 1

思路分析：四边形的基本构成元素是三角形，因而可把该问题转化为求三角形面积，首先可根据四个内角的度数之比求出四个内角，结合余弦定理求得边长，利用三角形面积公式S=absinC求解.

     解：由题意知，设四个内角A、B、C、D的大小依次为3x、7x、4x、10x，则3x+7x+4x+10x=360°.

     ∴x=15°，即A=45°，B=105°，C=60°，D=150°.

     在△BCD中，由余弦定理，得

     BD²=BC²+DC²-2BC·DC·cosC=m²+(2m)²-2×m×2m×cos60°=3m².

     ∴BD=3m.

     ∴S_△BCD= DC·BC·sinC=×m×2m× =m².

     在△BCD中，BD²+BC²=DC²，∴∠DBC=90°.∴∠BDC=30°.

     在△BAD中，由正弦定理，得

     AB= = =m.

     又∠ABD=105°-90°=15°，

     ∴S_△ABD= AB·BD·sin15°=×m×m× =m².

     ∴S_{四边形ABCD}=S_△BCD+S_△ABD=m²+m²=m².