题目内容

某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则销售利润为0元；若1＜T≤3，则销售利润为100元；若T＞3，则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3及T＞3这三种情况发生的概率分别为P₁，P₂，P₃，又知P₁，P₂是方程25x₂-15x+a=0的两个根，且P₂=P₃．
（1）求P₁，P₂，P₃的值；
（2）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列；
（3）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值．

解：（1）由已知得p₁+p₂+p₃=1，
∵p₂=p₃，∴p₁+2p₂=1，
∵p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）ξ的可能值是0，100，200，300，400，
p（ξ=0）= $\text{[math]}$ ，
p（ξ=100）= $\text{[math]}$ ，
p（ξ=200）= $\text{[math]}$ ，
p（ξ=300）= $\text{[math]}$ ，
p（ξ=400）= $\text{[math]}$ ．
∴随机变量ξ的分布列为

ξ	0	100	200	300	400
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

（3）销售利润总和的平均值为 $\text{[math]}$ ．
∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元．
分析：（1）由已知得p₁+p₂+p₃=1，p₂=p₃，p₁+2p₂=1，再由p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，能求出 $\text{[math]}$ ．
（2）ξ的可能值是0，100，200，300，400，p（ξ=0）= $\text{[math]}$ ，p（ξ=100）= $\text{[math]}$ ，p（ξ=200）= $\text{[math]}$ ，p（ξ=300）= $\text{[math]}$ ，p（ξ=400）= $\text{[math]}$ ．由此能求出随机变量ξ的分布列．
（3）由ξ的分布列能求出销售利润总和的平均值Eξ．
点评：本题考查概率的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地利用离散型随机变量的分布列和期望进行解题．