Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=(3n+S_n)对一切正整数n恒成立.

(1)证明数列{a_n+3}为等比数列;

(2)数列{a_n}中是否存在三项构成等差数列?若存在，求出一组；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解:(1)由已知，得S_n=2a_n-3n(n∈N^*),

∴S_n+1=2a_n+1-3(n+1), (1分)

两式相减得  a_n+1=2a_n+1-2a_n-3,

∴a_n+1=2a_n+3;即a_n+1+3=2(a_n+3),

∴=2,又a₁=S₁=2a₁-3,∴a₁=3,a₁+3=6,

故数列{a_n+3}是首项为6,公比为2的等比数列.

(2)由(1)知，a_n+3=6·2^n-1  ∴a_n=3·2ⁿ-3 

不妨假设、、成等差数列(m₁＜m₂＜m₃)

则,即2(3·-3)=3·-3+3·-3,

∴,

∴,(*) 

∵m₁、m₂、m₃∈N^*,且m₁＜m₂＜m₃,

∴(*)式左边是偶数，右边是奇数.

∴(*)式不成立.

∴数列{a_n}中不存在构成等差数列的三项.