Question

已知a＞1，f（log_ax）=

a

a2-1

(x-

1

x

)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明f（x）为R上的增函数；
（3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的集合M．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数的性质结合换元法令t=log_ax，从而推出x=a^t，导出f（t）后，直接把f（t）中的变量t都换成x就得到f（x）；
（2）先对a进行分类讨论，再利用指数函数单调性，以及复合函数的单调性进行证明；
（3）求出f（-x），然后把f（-x）和f（x）进行比较，若f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数；结合f（x）的奇偶性与单调性进行求解，故由f（1-m）+f（1-m²）＜0可知f（1-m）＜-f（1-m²），即f（1-m）＜f（m²-1），再y=f（x）在（-1，1）上是增函数求解m的取值范围．

解答：解：（1）令t=log_ax（t∈R），
则x=a^t，f（t）=

a

a2-1

(at-

1

at

)，
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-

1

ax

)（x∈R）．
（2）当a＞1时，指数函数y=a^x是增函数，y=

1

ax

是减函数，y=-

1

ax

是增函数．
∴y=ax-

1

ax

为增函数，
又∵

a

a2-1

＞0，
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-

1

ax

)是R上的增函数．
当0＜a＜1时，指数函数y=a^x是减函数，y=

1

ax

是增函数，y=-

1

ax

是减函数．
∴y=ax-

1

ax

为减函数．
又∵

a

a2-1

＜0，
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-

1

ax

)是R上的增函数．
综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x）为R上的增函数．
（3）∵f（-x）=

a

a2-1

(a-x-

1

a-x

)=-

a

a2-1

(ax-

1

ax

)=-f（x），且x∈R，
∴f（x）为奇函数．
∵f（1-m）+f（1-）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），
由（2）可知y=f（x）为R上的增函数，
∴-1＜1-m＜m²-1＜1，
解之得：1＜m＜

2

．

点评：本题是有关函数性质的综合题，考查了换元法求解析式，指数函数和复合函数的单调性，以及利用函数的单调性和奇偶性求有关函数值的不等式等等，考查了转化思想和分析、解决问题的能力．