Question

已知函数f（x）=|x-1|，
（1）解关于x的不等式f（x）+x²-1＞0
（2）若g（x）=-|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由不等式f（x）+x²-1＞0可化为：|x-1|＞1-x²，即：1-x²＜0或

1-x2≥0 x-1＞1-x2

或

1-x2≥0 x-1＜-(1-x2)

，解出即可；
（2）g（x）=-|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空?|x-1|+|x+3|＜m的解集非空?（|x-1|+|x+3|）_min＜m，利用绝对值不等式的性质即可得出．

解答：解：（1）由不等式f（x）+x²-1＞0可化为：|x-1|＞1-x²
即：1-x²＜0或

1-x2≥0 x-1＞1-x2

或

1-x2≥0 x-1＜-(1-x2)

，
解得x＞1或x＜-1，或∅，或x＞1或x＜0．
∴原不等式的解集为{x|x＞1或x＜0}，
综上原不等式的解为{x|x＞1或x＜0}．
（2）∵g（x）=-|x+3|+m，f（x）＜g（x），
∴|x-1|+|x+3|＜m．
因此g（x）=-|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空?|x-1|+|x+3|＜m的解集非空．
令h（x）=|x-1|+|x+3|，
即h（x）=（|x-1|+|x+3|）_min＜m，
由|x-1|+|x+3|≥|x-1-x-3|=4，
∴h（x）_min=4，
∴m＞4．

点评：本题考查了含绝对值的不等式的解法、分类讨论、绝对值不等式的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．