Question

（2011•聊城一模）已知函数f(x)=sin(2ωx-

π

6

)-4sin2ωx+a，(ω＞0)，其图象的相邻两个最高点之间的距离为π，
（1） 求函数f（x）的单调递增区间；
（2） 设函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最小值为-

3

2

，求函数f（x），（x∈R）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）利用[0，

π

2

]求出函数的最小值，结合已知函数的最小值为-

3

2

，求出a的值，即可得到函数f（x），（x∈R）的解析式，易求函数的值域．

解答：解：（1）f(x)=sin(2ωx-

π

6

)-4sin2ωx+a=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-4×

1-cos2ωx

2

+a
=

3

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx-2+a=

3

sin(2ωx+ 

π

3

)-2+a
由已知得函数f（x）的周期T=π即

2π

2ω

=π
所以ω=1，f（x）=

3

sin(2x+

π

3

)-2+a．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ    k∈Z，得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ    k∈Z
∴f（x）的单调增区间为：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]    k∈Z．
（2） 当x∈[0，

π

2

]时，

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，sin(2ωx+

π

3

)∈[-

3

2

，1]，
这时f（x）的最小值为：a-

7

2

，由已知得，a-

7

2

=-

3

2

，a=2，所以函数f（x）=

3

sin(2x+

π

3

)，（x∈R）
函数法（x）的值域[-

3

，

3

]．

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，注意函数在闭区间上的最值的应用，基本函数的单调性是解好本题的关键．