题目内容

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+1（a＞0）的单调减区间是（1，2）．
（1）f（x）的解析式；
（2）若对任意的m∈（0，2]，关于x的不等式 $数学公式$ 在x∈[2，+∞）时有解，求实数t的取值范围．

解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+1（a＞0），
∴f'（x）=3ax²+2bx+c．
∵f（x）的单调减区间是（1，2），
∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）得f'（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
当x∈[2，+∞）时，f'（x）≥0，
∴f（x）在[2，+∞）单调递增，
∴f（x）_min=f（2）=3．
要使关于x的不等式 $\text{[math]}$ 在x∈[2，+∞）时有解，
即 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ 对任意m∈（0，2]恒成立，
只需 $\text{[math]}$ 在m∈（0，2]恒成立．
设 $\text{[math]}$ ，m∈（0，2]，
则t＜h（m）_min．

$\text{[math]}$ ，
当m∈（0，2]时，h（m）在（0，1）上递减，在（1，2]上递增，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．

分析：（1）f'（x）=3ax²+2bx+c．由f（x）的单调减区间是（1，2），知 $\text{[math]}$ ，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由（1）得f'（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），当x∈[2，+∞）时，f'（x）≥0，故f（x）在[2，+∞）单调递增，所以f（x）_min=f（2）=3．要使关于x的不等式 $\text{[math]}$ 在x∈[2，+∞）时有解，只需 $\text{[math]}$ 在m∈（0，2]恒成立．由此能求出实数t的取值范围．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．易错点是要使关于x的不等式 $\text{[math]}$ 在x∈[2，+∞）时有解，只需 $\text{[math]}$ 在m∈（0，2]恒成立．解题时要认真审题，仔细解答．