Question

（2012•上海二模）已知椭圆￢：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），M点的坐标为（0，b），O为坐标原点，△OMF是等腰直角三角形．
（1）求椭圆￢的方程；
（2）设经过点C（0，2）作直线AB交椭圆￢于A、B两点，求△AOB面积的最大值；
（3）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由△△OMF是等腰直角三角形，可得b=1，a=

2

，b=

2

，从而可得椭圆方程；
（2）设过点C（0，2）的直线AB的方程为y=kx+2，A、B的横坐标分别为x_A，x_B，求出|x_A-x_B|的最大值，即可求得△AOB面积=

1

2

×2×|x_A-x_B|=|x_A-x_B|的最大值；
（3）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，利用韦达定理结合

MP

•

FQ

=0，即可求得结论．

解答：解：（1）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=

2

b=

2

，故椭圆方程为

x2

2

+y2=1；
（2）设过点C（0，2）的直线AB的方程为y=kx+2，A、B的横坐标分别为x_A，x_B，
将线AB的方程为y=kx+2代入椭圆方程，消元可得（1+2k²）x²+8kx+6=0，△=16k²-24＞0，∴k²＞

3

2

∴x_A+x_B=-

8k

1+2k2

，x_Ax_B=

6

1+2k2

∴|x_A-x_B|=

(- 8k 1+2k2 )2-4× 6 1+2k2

=

16k2-24 (1+2k2)2

令k²=t，则t＞

3

2

，|x_A-x_B|=

16t-24 (1+2t)2

令u=t-

3

2

，则u＞0，|x_A-x_B|=4

u (2u+4)2

=2

1 u+ 4 u +4

≤

2

2

（当且仅当u=2时取等号）
又△AOB面积=

1

2

×2×|x_A-x_B|=|x_A-x_B|，∴△AOB面积的最大值为

2

2

；
（3）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因为M（0，1），F（1，0），所以k_PQ=1．                  
于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，消元可得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△＞0，得m²＜3，且x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

由题意应有

MP

•

FQ

=0，所以x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，
所以2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0．
整理得2×

2m2-2

3

-

4m

3

（m-1）+m²-m=0．
解得m=-

4

3

或m=1．                              
经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去．
∴当m=-

4

3

时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x-

4

3

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，属于中档题．