Question

已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）.点P、Q在双曲线的右支上，点M（m,0）到直线AP的距离为1.

（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.

Answer 1

解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程(即.又因为点M到直线AP的距离为1,所以

得.

∵ ∴≤≤2,

解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.

∴m的取值范围是

(Ⅱ)可设双曲线方程为

由

得.

又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此，（不妨设P在第一象限）

直线PQ方程为.

直线AP的方程y=x-1,

∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，

所以所求双曲线方程为

即