Question

设为实数，函数

(Ⅰ)求的单调区间与极值；

(Ⅱ)求证：当且时，

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)的单调递减区间是，单调递增区间是,极小值为;(Ⅱ) 见解析.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)直接根据导数和零的大小关系求得单调区间，并由单调性求得极值；(Ⅱ)先由导数判断出在R内单调递增，说明对任意，都有，而，从而得证.

试题解析：（１）解：由知，．

令，得.于是，当变化时，和的变化情况如下表：

		0	+
	单调递减		单调递增

故的单调递减区间是，单调递增区间是．在处取得极小值，极小值为．                 

（２）证明：设，于是．

由（1）知，对任意,都有，所以在R内单调递增．

于是，当时，对任意，都有，而 ，

从而对任意，都有，即故

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2. 利用导数求函数极值3.利用函数的最值证明不等式.