Question

已知函数f（x）=-

1

6

x³+

1

2

x²+x，x∈R，
（Ⅰ）求证：对任意的x₁∈R都有f（1+x₁）+f（1-x₁）=

8

3

；
（Ⅱ）求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值；
（Ⅲ）设g（x）=f′（x），a_n+1=g（a_n），n∈N，利用1＜a_n＜

3

2

（n∈N），证明：|a₁-

2

|+|a₂-

2

|+…+|a_n-

2

|＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数f（x）的解析式，将1+x₁和1-x₁代入相加，化简整理，可得对任意的x₁∈R都有f（1+x₁）+f（1-x₁）=

8

3

；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论将所要求的和进行配对，每两个自变量和等于2的函数值相加都等于

8

3

，这样配成2008对，再加上f（1）=

4

3

，可得结果为5356；
（Ⅲ）利用导数公式求出g（x）的表达式，再通过因式分解，结合1＜a_n＜

3

2

，证得|a_n+1-

2

|＜

1

2

|a_n-

2

|＜…＜

1

2 n-1

|a₂-

2

|＜

1

2 n

|a₁-

2

|＜

1

2 n-1

，最后利用n个不等式进行累加，可得欲证明的不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）f（1+x₁）+f（1-x₁）=-

1

6

（1+x₁）³+

1

2

（1+x₁）²+（1+x₁）+[-

1

6

（1-x₁）³+

1

2

（1-x₁）²+（1-x₁）]
=-

1

6

[（1+x₁）³+（1-x₁）³]+

1

2

[（1+x₁）²+（1-x₁）²]+2
=-

1

3

-x₁²+1+x₁²+2=

8

3

（Ⅱ）根据（Ⅰ）结论，将f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）进行配对如下：
[f（-2007）+f（2009）]+[f（-2006）+f（2008）]+[f（-2006）+f（2008）]+…+[f（0）+f（2）]+f（1）
=

8

3

×2008+（-

1

6

+

1

2

+1）=5356
（Ⅲ）由于g(x)=- 

1

2

x2 +x+1
∴an+1=g(an) =-

1

2

a

2 n

+an+1
又|a_n+1-

2

|=|-

1

2

a

2 n

+an+1-

2

|=

1

2

|an-

2

|•|an-2+

2

|
由于1＜a_n＜

3

2

，得|an-2+

2

|＜1
故|a_n+1-

2

|＜

1

2

|a_n-

2

|＜…＜

1

2 n-1

|a₂-

2

|＜

1

2 n

|a₁-

2

|＜

1

2 n-1

于是：|a₁-

2

|+|a₂-

2

|+…+|a_n-

2

|＜1++

1

2

+

1

2 2

+…+

1

2 n-1

=2-

1

2 n-1

．
所以：|a₁-

2

|+|a₂-

2

|+…+|a_n-

2

|＜2．

点评：本题以函数为载体，考查了函数的对称性与数列之间的关系，同时还考查了用放缩法证明不等式，是一道难题．着重考查数列和不等式问题的综合应用，解题时要注意转化化归、分类讨论等数学思想的应用．