Question

已知函数（为常数，为自然对数的底）

（1）当时，求的单调区间；

（2）若函数在上无零点，求的最小值；

（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）的减区间为，增区间为；

（2）的最小值为；

（3）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）将代入函数的解析式，利用导数求出的单调递增区间和递减区间；（2）将函数在上无零点的问题转化为直线与曲线在区间上无交点，利用导数确定函数在区间上的图象，进而求出参数的取值范围，从而确定的最小值；（3）先研究函数在上的单调性，然后再将题干中的条件进行适当转化，利用两个函数的最值或端点值进行分析，列出相应的不等式，从而求出的取值范围.

试题解析：（1）时，

由得     得

故的减区间为  增区间为              3分

（2）因为在上恒成立不可能

故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立

即时，                       5分

令

则

再令

    于是在上为减函数

故

在上恒成立

在上为增函数

  在上恒成立

又

故要使恒成立，只要

若函数在上无零点，的最小值为                        8分

（3）

当时，，为增函数

当时，，为减函数

函数在上的值域为                       9分

当时，不合题意

当时，

故

①                                      10分

此时，当变化时，，的变化情况如下

	—	0	+
	↘	最小值	↗

时，，

任意定的，在区间上存在两个不同的 

使得成立，

当且仅当满足下列条件

即   ②

即   ③                                         11分

令

  令得

当时，  函数为增函数

当时，  函数为减函数

所以在任取时有

即②式对恒成立                       13分

由③解得        ④

由①④ 当时

对任意，在上存在两个不同的使成立

考点：1.函数的单调区间；2.函数的零点；3.函数的存在性问题