Question

已知圆C₁：x²+y²=1，圆C₂：x²+y²-2x+4y+1=0；
（Ⅰ）求证：圆C₁、圆C₂相交；    
（Ⅱ）求圆C₁、圆C₂相交弦的长．

Answer 1

（Ⅰ）圆C₁：x²+y²=1的圆心为（0，0），半径为1．
圆C₂：x²+y²-2x+4y+1=0即 （x-1）²+（y+2）²=4，表示圆心为（1，-2）、半径等于2的圆．
两圆的圆心距

1+4

=

5

，大于两圆的半径只差而小于两圆的半径之和，
故这两个圆相交．
（Ⅱ）把这两个圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为x-2y+1=0．
圆心C₁到直线方程x-2y+1=0的距离为d=

|0-0+1|

5

=

5

5

，
由弦长公式可得 弦长为 2

1- 1 5

=

4 5

5

．