题目内容

19．已知函数f（x）定义域为（0，+∞），且满足f（x）＞0，xf′（x）-f（x）＜0，则对任意正数a，b，当a＞b时，下列不等式一定成立的是（　　）
A．af（b）＜bf（a）B．bf（a）＜af（b）C．af（a）＜bf（b）D．bf（b）＜af（a）

分析 构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求导，利用已知，判断其单调性，利用单调性判断a，b的函数值大小，得到答案．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
F'（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$[xf′（x）-f（x）]，
∵xf′（x）-f（x）＜0 所以 F'（x）＜0 即F（x）是减函数，即当a＞b＞0时，F（a）＜F（b）所以$\frac{f（a）}{a}＜\frac{f（b）}{b}$，从而af（b）＞bf（a）；
故选：B

点评 本题考查函数的单调性和导数的关系，解题时要认真审题，注意导数的合理运用

练习册系列答案
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9．已知，如图，抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点P（2，4），直线l：y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$交C于A、B两点，与x轴相交于点F．
（Ⅰ）求抛物线方程和及其准线方程．
（Ⅱ）已知点M（-2，5），直线MA、MF、MB的斜率分别为k1、k2、k3，求证：k1、k2、k3成等差数列．
10．椭圆$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的一个焦点为（1，0），则m的值为5．
7．若函数y=f′（x）在区间（x1，x2）内是单调递减函数，则函数y=f（x）在区间（x1，x2）内的图象可以是（　　）
A．B．C．D．
14．函数f（x）=$\frac{1}{2}$x2-lnx+1的一个单调递减区间是（　　）
A．（0，e）B．（e，+∞）C．（0，1）D．（1，+∞）
4．A、B两站相距10千米，有两列火车匀速由A站开往B站，一辆慢车，从A站到B站需24分钟，另一列快车比慢车迟开6分钟，却早6分钟到达．
①试分别写出两车在此时间内离开A地的路程y（千米）关于慢车行驶时间x（分钟）的函数关系式；
②在同一坐标系中画出两函数的图象；
③求出两车在何时，离始发站多远相遇？
11．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若|AB|=8，则线段AB中点的横坐标为3．
8．将1，2，3，…，n这n个数随机排成一列，得到的一列数a1，a2，…，an称为1，2，3，…，n的一个排列；定义r（a1，a2，…，an）=|a1-a2|+|a2-a3|+…|an-1-an|为排列a1，a2，…，an的波动强度，当n=2012时，则r（a1，a2，…，an）的最小值为2011，当n=2k（k≥2，k∈N+）时，则r（a1，a2，…，an）的最大值$\frac{{n}^{2}}{2}$-1．
9．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程式：$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t是参数），直线l的极坐标方程式2pcosθ+psinθ-4=0．
（1）将曲线C的参数方程转化为普通方程，将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．
（2））若直线l与曲线C交于A，B，求AB中点的直角坐标．

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