Question

已知函数的图象关于原点对称．
（1）求f（x）的表达式；
（2）n≥2，n∈N时，求证：[f（1）-1]|[f（2²）-2²]+…+[f（n²）-n²]＜2；
（3）对n≥2，n∈N，x＞0，求证[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．

Answer 1

【答案】分析：（1）用特殊值直接代入，得f（1）=-f（-1），解此方程，即可求得c的值．
（2）利用放缩法，，再根据列项相消求和即可．
（3）利用二项式定理，将[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）展开，然后根据二项式系数相等的项，合并成n-1对，每一个括号里面都使用基本不等式，可以证出[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）≥C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2，达到证明的目的．
解答：解：∵f（x）图象关于原点对称
∴f（x）是奇函数，代入特值，f（1）=-f（-1），求得c=0
∴
（2）∵n≥2，n∈N
∴
∴
（3）
=
=

≥=2ⁿ-2
∴[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．
点评：本题考查了函数与不等式的综合，二项式定理等等知识点，属于难题．合理地将条件加以运用，适时利用基本不等式，是解决本题的关键、