Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c同时满足以下条件：
①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③对任意实数x，f（x）≥

1

4a

-

1

2

恒成立．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）若{a_n}为等比数列，a₁=f（5），公比q=

c

b

，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，求S_n的最大值；
（3）令T_n=a₁a₂a₃…a_n（n∈N*），试求T_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据f（3-x）=f（x），可得a=-

b

3

；根据f（1）=0，知a+b+c=0，又对任意实数x，f（x）≥

1

4a

-

1

2

恒成立，所以

4ac-b2

4a

=

1

4a

-

1

2

，从而可求y=f（x）的表达式；  
（2）先确定a₁，q，进而由Sn=

36

5

[1-(-

2

3

)n]，从而可求S_n的最大值；
（3）先表示T_n=a₁a₂a₃…a_n=12n×(-

2

3

)1+2+…+(n-1)，∴

Tn

Tn+1

=

1

12

×(-

3

2

)n-1从而由{|Tn|}单调性，可得结论．

解答：解：（1）∵f（3-x）=f（x），∴a（3-x）²+b（3-x）+c=ax²+bx+c
∴-6a-b=b，∴a=-

b

3

                ①
∵f（1）=0，∴a+b+c=0，∴-

b

3

+b+c=0，∴c=-

2b

3

            ②
∵对任意实数x，f（x）≥

1

4a

-

1

2

恒成立
∴ax²+bx+c≥

1

4a

-

1

2

，∴

4ac-b2

4a

=

1

4a

-

1

2

      ③
由①②③可得a=1，b=-3，c=2
∴f（x）=x²-3x+2
（2）a₁=12，公比q=

c

b

=-

2

3

∴Sn=

36

5

[1-(-

2

3

)n]，∴S_n的最大值为12；
（3）T_n=a₁a₂a₃…a_n=12n×(-

2

3

)1+2+…+(n-1)，
∴

Tn

Tn+1

=

1

12

×(-

3

2

)n-1
由|

Tn

Tn-1

|≥1得n≤7
由|

Tn

Tn+1

|≥1得n≥7
考虑Tn的正负，只有n=4k或4k+1（k是正整数）时T_n＞0
n=4k时，Tn＞0，Tn-1＜0，Tn+1＞0，

Tn

Tn-1

≥1，所以4k≥7，k≥2，n=8，12，16，…
n=4k+1时，Tn＞0，Tn-1＞0，Tn+1＜0，

Tn

Tn-1

≥1，所以4k+1≤7，k＜=1，n=1，5
由{|Tn|}单调性，接下来只要比较T₈和T₅即可
因为T₈＜T₅，所以T₅最大为

210

243

．

点评：本题以二次函数为载体，考查函数的解析式，考查等比数列的和，考查等比数列的积，有一定的综合性．