Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1，等差数列{b_n}满足b₃=3，b₅=9，（1）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^*，恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）仿写一个等式，两式相减得到数列{a_n}的递推关系，判断出数列{a_n}是等比数列；利用等差数列及等比数列的通项公式分别求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）利用等比数列的前n项和公式求出S_n，分离出参数k，构造新数列{c_n}，利用后一项减去前一项，
判断出数列{c_n}的单调性，求出它的最大值，求出k的范围．
解答：解：（1）由a_n+1=2S_n+1①
得a_n=2S_n-1+1②，
①-②得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），
∴a_n+1=3a_n（n≥2）
又a₂=3，a₁=1也满足上式，
∴a_n=3^n-1；（3分）
b₅-b₃=2d=6∴d=3
∴b_n=3+（n-3）×3=3n-6；（6分）
（2），
∴对n∈N^*恒成立，
∴对n∈N^*恒成立，（8分）
令，，
当n≤3时，c_n＞c_n-1，当n≥4时，c_n＜c_n-1，（10分）
，
所以实数k的取值范围是（12分）
点评：已知数列的项与前n项和间的递推关系求数列的通项，一般通过仿写作差的方法得到数列的递推关系，再据递推关系选择合适的求通项方法．