Question

已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数 在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证： 

Answer 1

解：（Ⅰ） 
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数
（Ⅱ） 得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3
∴ ， ∴g'（x）=3x²+（m+4）x﹣2
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2
∴ 
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有： ，
∴ 
（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴ 
∴