Question

(2006福建，18)如下图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，．

(1)求证：AO⊥平面BCD；

(2)求异面直线AB与CD所成角的大小；

(3)求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)连结OC． ∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD． ∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD． 在△AOC中，由已知可得AO=1，，而AC=2， ∴， ∴∠AOC=90°，即AO⊥OC． ∵BD∩OC=O， ∴AO⊥平面BCD． (2)取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC． ∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角． 在△OME中，，， ∵OM是直角△AOC斜边上的中线， ∴，∴， ∴异面直线AB与CD所成角的大小为． (3)设点E到平面ACD的距离为h． ∵， ∴． 在△ACD中，CA=CD=2，． ∴． 而AO=1，， ∴． ∴点E到平面ACD的距离为．