Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当,函数在区间上为增函数,求整数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）当时, 在上为增函数;

当时, 在为减函数,在为增函数；（2）1

【解析】

（1）求导，根据取值不同进行分类讨论，求出函数的单调性；

（2）求导，问题转化为在恒成立,常变量分离，

在恒成立,令，求导，求出的最小值，最后求出整数的最大值.

(1)定义域为,,

当时,,所以在上为增函数;

当时,由得,当时, ,

当时,

所以在为减函数,在为增函数，

综上所述：当时, 在上为增函数;

当时, 在为减函数,在为增函数.

(2)当时,, 若在区间上为增函数,

则在恒成立,

即在恒成立,令.

，令,

可知，又当时，,

所以函数在只有一个零点, 设为,即,且;

由上可知当时,即;当时，,即,

所以,有最小值,

把代入上式可得,又因为,所以,

又恒成立,所以,又因为为整数,

所以,所以整数的最大值为1 .