Question

设函数f（x）=a•b，其中向量a=（m，cos2x），b=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点（

π

4

，2）．
（1）求实数m的值；
（2）求f（x）的最小正周期．
（3）求f（x）在[0，

π

2

]上的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）先根据

a

和

b

求得函数f（x）的解析式，进而把点（

π

4

，2）代入即可求得m．
（2）把m的值代入函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用T=

2π

w

求得函数的最小正周期．
（3）根据x的范围进而可确定2x+

π

4

的范围，同时根据正弦函数的单调性可求得函数的单调递增曲线，最后取交集，答案可得．

解答：解：（1）f（x）=a•b=m（1+sin2x）+cos2x，
∵图象经过点（

π

4

，2），
∴f（

π

4

）=m（1+sin

π

2

）+cos

π

2

=2，解得m=1；
（2）当m=1时，f（x）=1+sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴T=

2π

2

=π；
（3）x∈[0，

π

2

]，2x∈[0，π]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
由

π

4

≤2x+

π

4

≤

π

2

，得0≤x≤

π

8

∴f（x）在[0，

π

2

]上的单调增区间为[0，

π

8

]．

点评：本题主要考查了三角函数周期性及其求法，三角函数的公式变形，基本运算，和三角函数的图象及其性质，考查面比较广．