Question

17．在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρsin（θ-\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$．
（1）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C₁上的动点，求点P到C₂上点的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）由曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x}{{\sqrt{3}}}=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$，利用cos²α+sin²α=1即可得出曲线C₁的普通方程，由曲线C₂：$ρsin（θ-\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，利用和差公式展开再利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程．
（2）设椭圆上的点$P（\sqrt{3}cosα，sinα）$，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x}{{\sqrt{3}}}=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$，
∴曲线C₁的普通方程为：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
由曲线C₂：$ρsin（θ-\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，展开可得：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}ρ（sinθ-cosθ）=2\sqrt{2}$，
即曲线C₂的直角坐标方程为：x-y+4=0．
（2）由（1）知椭圆C₁与直线C₂无公共点，
椭圆上的点$P（\sqrt{3}cosα，sinα）$到直线x-y-4=0的距离为$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosα-sinα+4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2sin（α+\frac{2π}{3}）+4}|}}{{\sqrt{2}}}$，
∴当$sin（α+\frac{2π}{3}）=-1$时，d的最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．