Question

（2011•双流县三模）已知函数f（x）=x³-3x及y=f（x）上一点P（1，-2），过点P作直线l．
（1）求使直线l和y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；
（2）求使直线l和y=f（x）相切且切点异于P的直线方程y=g（x）；
（3）在（2）的条件下，求F（x）=f（x）+tg（x）（t为常数）在[2，+∞）上单调时，t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知可得斜率函数为f′（x）=3x²-3，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可．
（2）设另一切点为（x₀，y₀），求出该点切线方程，再由条件列方程计算．
（3）由（2）得g（x）=-

9

4

x+

1

4

，则F（x）=x³-3x+t（-

9

4

x+

1

4

），求其导数，再分类讨论：当

9

4

t+3≤0时，F（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，F（x）在[2，+∞）上是增函数；当

9

4

t+3＞0时，求得当t≤4时，F（x）在[2，+∞）上是增函数，从而求出t的取值范围．

解答：解：（1）由f（x）=x³-3x得，f′（x）=3x²-3，
过点P且以P（1，-2）为切点的直线的斜率f′（1）=0，
∴所求直线方程为y=-2．
（2）设过P（1，-2）的直线l与y=f（x）切于另一点（x₀，y₀），
则f′（x₀）=3x₀²-3．
又直线过（x₀，y₀），P（1，-2），
故其斜率可表示为

y0-(-2)

x0-1

=

x03-3x0+2

x0-1

，
又

x03-3x0+2

x0-1

=3x₀²-3，
即x₀³-3x₀+2=3（x₀²-1）•（x₀-1），
解得x₀=1（舍）或x₀=-

1

2

，
故所求直线的斜率为k=3×（

1

4

-1）=-

9

4

，
∴y-（-2）=-

9

4

（x-1），
即9x+4y-1=0．
（3）由（2）得g（x）=-

9

4

x+

1

4

，则F（x）=x³-3x+t（-

9

4

x+

1

4

），
∴F′（x）=3x³-（

9

4

t+3），
当

9

4

t+3≤0时，F（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，F（x）在[2，+∞）上是增函数；
当

9

4

t+3＞0时，由F′（x）=0得极值点：x₁=-

3 4 t+1

，x₂=

3 4 t+1

，
在

3 4 t+1

≤2，即

3

4

t+1≤4，即t≤4时，F（x）在[2，+∞）上是增函数，
∴t的取值范围：t≤4．

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程′、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．