Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=1，AA₁=1
（1）求直线AD₁与B₁D所成角；
（2）求直线AD₁与平面B₁BDD₁所成角的正弦．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出直线AD₁与B₁D的方向向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD₁与B₁D所成角；
（2）求出平面B₁BDD₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD₁与平面B₁BDD₁所成角的正弦．

解答：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），D₁（1，0，1），B₁（0，2，1），D（1，0，0）．
∴

AD1

=(1，0，1)，

B1D

=(1，-2，-1)，
∴cos＜

AD1

，

B1D

＞=

1-1

2 • 6

=0，
∴＜

AD1

，

B1D

＞=90°，
∴直线AD₁与B₁D所成角为90°；
（2）设平面B₁BDD₁的法向量

n

=（x，y，z），则
∵

DD1

=(0，0，1)，

DB

=（-1，2，0），
∴

z=0 -x+2y=0

，
∴可取

n

=（2，1，0），
∴直线AD₁与平面B₁BDD₁所成角的正弦为

2

2 • 5

=

10

5

．

点评：本题考查线线角，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键．