题目内容

设函数f(x)＝ax2＋lnx．

(Ⅰ)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)已知a＜0，若函数y＝f(x)的图象总在直线y＝－的下方，求a的取值范围；

(Ⅲ)记为函数f(x)的导函数．若a＝1，试问：在区间[1，10]上是否存在k(k＜100)个正数x1，x2，x3…xk，使得成立？请证明你的结论．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)当时，，，，

　　所以切线的斜率为；2分

　　又，所以切点为．

　　故所求的切线方程为：即；4分

　　(Ⅱ)，，；6分

　　令，则．

　　当时，；当时，．

　　故为函数的唯一极大值点，

　　所以的最大值为＝．8分

　　由题意有，解得．

　　所以的取值范围为．10分

　　(Ⅲ)当时，．记，其中．

　　∵当时，，∴在上为增函数，

　　即在上为增函数．12分

　　又，

　　所以，对任意的，总有．

　　所以，

　　又因为，所以．

　　故在区间上不存在使得成立的()个正数…．14分


练习册系列答案
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设函数f(x)＝ax＋cosx，x∈[0，π]．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设f(x)≤1＋sinx，求a的取值范围．

设函数f(x)＝ax－lnx－3(a∈R)，g(x)＝．

(Ⅰ)若函数 g(x)的图象在点(0，0)处的切线也恰为f(x)图象的一条切线，求实数a的值；

(Ⅱ)是否存在实数a，对任意的x∈(0，e]，都有唯一的x0∈[e－4，e]，使得f(x0)＝g(x)成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．注：e是自然对数的底数．

设函数f(x)＝ax＋2，
不等式|f(x)|<6的解集为(－1,2)，
试求不等式≤1的解集．

设函数 f (x)＝ax－lnx－3（a∈R），g(x)＝xe1－x．

          （Ⅰ）若函数 g(x) 的图象在点 (0,0) 处的切线也恰为 f (x) 图象的一条切线，求实数    a的值；

          （Ⅱ）是否存在实数a，对任意的 x∈(0,e]，都有唯一的 x0∈[e－4,e]，使得 f (x0)＝g(x) 成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

注：e是自然对数的底数．

 

设函数f(x)＝ax＋ (a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方

 

程为y＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，

并求出此定值．

 

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