题目内容

在区间［0，1］上给定曲线y=x2,试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小.

      

解析：S1面积等于边长为t与t2矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t所围成的面积，即?

       S1=t·t2-=t3.?

       S2的面积等于曲线y=x2与x轴、x=t,x=1围成面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2、(1-t),即?

       S2=.?

       ∴阴影部分面积S为?

       S=S1+S2=t3-t2+(0≤t≤1).?

       ∵S′(t)=4t2-2t=4t(t-)2=0时，得?

       t=0,t=.?

       当t=时，S最小，∴最小值为S（）=.

练习册系列答案
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已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)=
2x4x+1
；
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并给出证明．
（2012•芜湖二模）给出以下五个命题：
①命题“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函数f（x）=k•cosx的图象经过点P（
π
3
，1），则函数图象上过点P的切线斜率等于-
3

③a=1是直线y=ax+1和直线y=（a-2）x-1垂直的充要条件．
④函数f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在区间（0，1）上存在零点．
⑤已知向量
a
=(1，-2)与向量
b
=(1，m)的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是（-∞，
1
2
）
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．
定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2，且x1≠x2，都有
f(x1)+f(x2)
2
＞f(
x1+x2
2
)，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）对于函数f(x)=x+
1
x
，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数f(x)=
1
x
-ax2在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．
给出以下五个命题：其中正确命题的序号是
①②③⑤
①②③⑤
．
①命题“对任意x∈Rx2+x+1＞0”的否定是“存在x∈Rx2+x+1≤0”
②函数f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在区间（0、1）上存在零点
③“a=1”是“函数y=cos2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件
④直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8交于A、B两点，则|AB|=2
2

⑤若直线2ax-bx+8=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+4x-8y+1=0周长则
8
a
+
2
b
最小值为9．
给出下列四个函数：①y=x+sinx；②y=x2-cosx；③y=2x-2-x；④y=ex+lnx，其中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调的函数是
①③
①③
．（写出所有满足条件的函数的序号）

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