Question

如图，一条螺旋线是用以下方法画成：△ABC中边长为1的正三角形，曲线CA₁，A₁A₂，A₂A₃分别以A、B、C为圆心，AC、BA₁、CA₂为半径画的弧，曲线CA₁A₂A₃称为螺旋线旋转一圈，然后又以A为圆心AA₃为半径画弧，这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度l_n=

（3n²+n）π

．（用π表示即可）

Answer 1

分析：根据弧长公式分别求出CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的长度，从而可知是

2π

3

为首项，

2π

3

为公差，项数为3n的等差数列，然后利用等差数列求和公式进行求解即可．

解答：解：根据弧长公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的长度分别为：

2π 3 ×π×1

π

，

2π 3 ×π× 2

π

，…，

2π 3 ×π×3n

π

，
化简得：

2π

3

，2×

2π

3

，3×

2π

3

，…，3n×

2π

3

，此数列是

2π

3

为首项，

2π

3

为公差，项数为3n的等差数列，则根据等差数列的求和公式得S_n=3n×

2π

3

+

3n(3n-1)

2

×

2π

3

=2nπ+nπ（3n-1）=n（3n+1）π．
故答案为：（3n²+n）π

点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和，解题的关键是归纳总结得到各弧长成等差数列，属于中档题．